BCI-代数

书籍:现代科技综述大辞典上 更新时间:2018-09-11 01:49:41

出处:按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第17页(3715字)

由日本井关清志在1966年引入,以集合论、命题演算、群论、Boole代数等为背景。

经过20多年的发展和国际上一批数学工作者的努力,尤其是一些中国数学工作者的突出工作,使得BCI-代数已成为当前国际上比较活跃的一个抽象代数分支。

BCI-代数实际上是一类泛代数。一个BCI-代数是具有下列条件的(2,0)型的(泛)代数<X;*,0>:

I-1.((x*y)*(x*z))*(z*y)=0,

I-2.(x*(x*y))*y=0,

I-3.x*x=0,

I-4.

I-5.

它可如下地引入自然半序:

I-6.

20世纪60年代以来,BCI-代数的发展过程大体上可以分为两个阶段。

第1阶段是1966~1979年。

在这1阶段中BCI-代数理论的最大成就是井关清志等人引入了BCI-代数和BCK-代数(BCI-代数的一种特殊情形)的概念。在第一阶段中对BCK代数的研究得到初步发展。

日本、波兰、苏丹和斯里兰卡的20多位作者写出了几十篇有关BCK-代数的论文,对BCK-代数从性质、若干类、生成新代数的方法及子集(包括理想)等方面进行了较为系统的研究。尤其是井关清志和塔那加等人在这一阶段中作了很多很好的工作,引进了许多概念,得到了一批有意义的结果,对可换性、有界性、拟可换性、关联性、正定关联性及具有条件(S)的性质进行了较系统的研究,开拓和丰富了BCK-代数的研究工作。

第2阶段是从1980年至今。

在第1阶段中除了BCK-代数的一些结果外,BCI-代数的研究工作并没有多大进展,这是因为BCK-代数类代数类。1980年井关清志肯定地得出结论,给出了第1个真BCI-代数的例子,并对BCI-代数进行了一些初步的研究。

1980年以来,中国数学工作者开始投入BCI-代数理论的研究工作,陆续写出和发表了一批论文,尤其是胡庆平在1987年出版了《BCI-代数》一书,这是国际上第1本关于BCI-代数的专着,给BCI-代数理论建立了一个框架。

中国数学工作者在这10多年中陆续研究和开拓了BCI-代数的一系列课题和专题方向,大大地推进了BCI-代数理论的研究。例如,1980年胡庆平和井关清志,引进了结合BCI-代数的概念,把BCI-代数和群论联系起来,且开拓了研究BCI-代数的一个方向:1985年,雷天德在此基础上引入了广义结合BCI-代数;1987年胡庆平和李欣,引入了具有散子代数性质的BCI-代数;1990年胡庆平,引入了具有散有限半序性质的BCI-代数。

这些代数类间有下列真包含关系:结合BCI-代数类广义结合BCI-代数类具有散子代数性质的BCI-代数类具有散有限半序性质的BCI-代数类代数类。

经过10多年的大量研究,现在已经发现BCI-代数与泛代数有密切的关系。实际上,BCI-代数是泛代数意义下的一种代数,也是具有代数结构和自然序结构的一种数学公理系统,因而也研究泛代数中一般研究的问题,例如簇论和理想等。关于簇论的结果已有:一切BCK-代数的类和一切BCI-代数的类皆是亚簇,可换BCK-代数类,(i,j;m,n)型拟可换BCI-代数类等都是簇。

在BCI-代数理论中对理想除了一般研究外,还利用理想成功地引入了商代数。

BCI-代数与格论、群论也有密切的联系。例如,我们已经知道BCI-代数理论中有下列结果:任意有界、可换的BCK代数是相对于∧和∨的一个格;一个BCK-代数在一定条件下成为一个Boole代数;胡庆平和井关清志(1982,1984)得到:如果BCI-代数<X;*,0>是结合的,则(X,*)是以0为恒等元的对合群,其逆亦真;雷天德进一步得到了广义结合BCI-代数和交换群之间的密切的“伴随”关系。

BCI-代数与点集拓扑和拓扑群也有密切关系。一个BCI-代数<X;*,0>再赋以拓扑结构,且使*成为连续映射,就成为BCI-拓扑代数,由自然半序引入的自然拓扑等都可满足这一条件,这种拓扑代数和拓扑群有密切的关系。另一方面,胡庆平(1987)还研究了BCI-代数的拟一致结构和一致结构,进而引入了一致拓扑,从而赋以拓扑结构。

这10多年中BCI-代数理论研究的主要方向是:(1)纯代数的研究。即BCI-代数理论的内在数学研究,主要着力于以下几个方面:本身性质的研究,构造新代数的方法探讨,各类BCI-代数的结构研究以及基数问题、真类问题及真子类问题的研究,结合性-广义结合性-具有散子代数性质这一方面的研究,子集和点的研究。

(2)与其它数学分支联系的研究。即BCI-代数理论的外部的数学研究,主要是BCI-代数与泛代数、格论、群论、点集拓扑和拓扑群等分支的联系,还有与集合论、环论、根性理论等方面的联系,都已有人展开一些工作,分别取得了一些结果。(3)建立和提出一些新的课题,使BCI-代数理论的研究不断深入,如胡庆平(1988)研究BCI-代数自然半序的几何特点,和研究了用自然半序定义的一类代数——具有散有限半序性质的BCI-代数,这实际上开拓了BCI-代数理论研究的一个新课题——BCI-代数自然半序的序结构研究(1990)。

从目前来看,BCI-代数理论研究的重点专题主要有:(1)BCI-代数的自然半序。

主要首先研究极小元,胡庆平和胡志刚已经得到了极小元定理、极小元乘积定理和链积问题等一批结果,进一步应对原子、高层元素、整个自然半序结构等展开深入的研究。(2)几类BCI-代数。对拟可换的BCI-代数、类拟可换的BCI-代数、具有条件(S)的BCI-代数、正常的BCI-代数和局部有限的BCI-代数等分别进行了一些研究,已取得一批结果。(3)扩张问题。对BCK-代数扩张为BCK-代数、BCK代数扩张为BCI-代数、BCI-代数扩张为BCI-代数等均已有所研究,并也有一些有趣的结果。(4)BCI-代数的范畴BCI。

研究其一些性质、有关的几个问题及子范畴等,已取得一些研究成果。(5)BCI-代数的同调。

已对BCI-代数的链复形、同调代数及同伦等问题展开了研究,得到了一些结果。(6)环式BCI代数。

已引入了环式BCI-代数的概念,研究了环式BCI-代数的一些性质,并利用矩阵方法,研究环式BCI-代数的其它问题。(7)BCI-拓扑代数。

对其一些代数问题、拓扑问题及进一步的问题已分别进行一些研究,已有一些初步的结果。(8)BCI代数理论的应用。已经在泛代数、群论和数论等分支中找到一些应用、得到一些成果。

【参考文献】:

1 Imai Y,Ieski K. On axiom system of propostional calculi. Proc Japan Acad, 1966,42:19~22

2 Iseki K. Proc. Japan Acad, 1966,42:26~29

3 Hu Qingping, et al. Math.Zem Notes,1980,8:553~555

4 胡庆平,等.科学通报,1982,12∶714~716

5 Hu Qingping et al.Math,Jap,1984,2∶251~253

6 胡庆平.BCI-代数.西安:陕西科学技术出版社,1987

7 胡庆平,等.纯粹数学与应用数学,1987,1∶39~46

8 胡庆平.数学杂志,1987,1∶63~69

9 胡庆平.西北大学学报,1988,3∶5~8

10 胡庆平.纯粹数学与应用数学,1990,2∶13~20

(西北大学胡庆平教授撰)

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