自动连续性理论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第41页（4179字）

巴拿赫(Banach)代数领域中近50年来最活跃的分支之一。

它研究的基本问题是巴拿赫代数A与B满足什么代数条件时，从A到B的任一同态必然连续。一般地，研究拓扑向量空间X与Y上附加什么条件时，任一线性算子T：X→Y都连续。与自动连续性紧密相关的是代数或空间的结构性质。业已表明：自动连续性问题的研究使得代数结构与拓扑结构之间的深刻联系得以体现。从而，推动了巴拿赫代数理论的发展。

自动连续性问题的研究起源于20世纪40年代艾德赫特(M．Eidelhet)关于巴拿赫空间E上全体有界线性算子代数B(E)上完备范数拓扑唯一性的研究以及盖尔凡德(I．M．Gelfand)与纳依马克(M．A．Naimark)对B^*－代数表示的探讨与开普兰斯基(I．Kaplansky)关于C(X)的着名问题的提出与讨论。

50年代的研究工作基本上围绕开普兰斯基问题开展。最有趣的结果之一是1955年辛格(I．M．Singer)与维尔莫(J．Wermer)的一个定理：交换巴拿赫代数上连续导子(deriva-tion)的值域包含在该代数上的加克堡森(Jacobson)根之中；因而，半单交换巴拿赫代数上没有非零的连续导子。

60～70年代，经过贝德(W．G．Bade)、克特斯(P．C．Curtis)、约汉逊(B．E．Johnson)、辛克莱(A．M．Sinclair)、代勒斯(H．G．Dales)、纳屋森(K．B．Laursen)与艾斯特勒(J．Esterle)等人的深入研究，取得了一系列的丰硕成果。基本的研究方法与众多的研究成果汇集在辛克莱的专着《线性算子的自动连续性》(1976)与代勒斯的综述文章《自动连续性》(1978)之中。该时期建立的基本概念与技巧性工具有：《分离空间》、《连续性理想》、《主有界性定理》、《稳定性引理》与《滑动搬移原理》。最深刻的结果之一是约汉逊于1967年得到的定理：半单巴拿赫代数A上具有唯一的完备范数拓扑且从任一巴拿赫代数到A上的满同态是自动连续的。

80年代的研究大都是关于代勒斯1978年提出的有关未解决问题的讨论。前期的研究充分体现：自动连续性问题与巴拿赫代数结构性质密切相关。此相关性正是自动连续性问题困难之所在。1981年在美国加利福尼亚州立大学举行了关于《根巴拿赫代数与自动连续性》的国际学术会议。

会议录(Lecture Notes in Math．975)收集了有关自动连续性问题的综合报告与研究论文13篇，同时还提出了一系列未解决的问题。

在同态自动连续性方面，值得一提的是1980年艾斯特勒的工作。他证明：从c_o(X)到巴拿赫代数上的同态自动连续。这一结果肯定地回答了代勒斯提出的一个公开问题。

另一类重要工作是关于约汉逊定理的各种推广。

1981年，阿彼特(B．Aupetit)应用次调合函数与谱半径的深刻结果证明：从巴拿赫代数到半单巴拿赫代数上的谱压缩线性算子必然连续。他还证明：从巴拿赫代数到半单巴拿赫代数的有限或可数余维的稠子代数上的任一同态自动连续。同年，吉捕(J．C．Tripp)证明：如果Φ是从巴拿赫代数A到B的同态且存在b∈Φ(A)使，则Φ连续。

由此得到了几个较为广泛的自动连续性定理。劳艾(R．J．Loy)发现：具有有限余维根的可分巴拿赫代数上具有唯一的完备范数拓扑当且仅当其根具有有限余维的平方。同时，阿尔贝希特(E．Albecht)与代勒斯通过研究分离空间的幂零性与零化性，证明：从没有非零有限维不可约^*－表示的有单位C^*－代数到任一巴拿赫代数中的同态自动连续。他们还证明：如果C^*－代数A的任一有限余维的闭双侧理想都有单位元，那么从A到巴拿赫代数中的同态必连续。

1982年，阿彼特用次调合函数的方法证明：从巴拿赫代数A到B的任一同态θ满足r(θ(a))≤r(b+θ(a))(a∈A，b∈θ的分离空间，r表示谱半径)。由此证明约汉逊1967年的相应定理。

1984年，代勒斯汇总讨论了从C^*－代数出发的同态的自动连续性，并指出：《主有界性定理》、《分离空间》与《连续性理想》是处理C^*一代数中自动连续性问题的基本方法与工具。同年，纳屋森应用《稳定性引理》研究了《分离空间》的稳定性，再次证明艾斯特勒1980年得到的定理。

通过研究换位子理想，他还证明：从具有有限余维的换位子理想的可分C^*－代数到任一交换巴拿赫代数中的同态自动连续。

1985年，纳屋森又证明：从C^*－代数到交换巴拿赫代数上的满同态自动连续。这是该理论中又一重要而深刻的结果。1988年，作者引入并研究了巴拿赫代数A上的形式幂级数代数A〔〔X〕〕与A上的幂级数巴拿赫代数φ_A，得到了有关的自动连续性结果。

这方面的讨论推广了劳尺(E．R．Lorch)、哥任贝呢(S．Grabiner)与束尔滋(H．J．Schultz)的有关工作。1989年，作者又研究了代勒斯与阿尔贝希特在1981年提出的3个公开问题。

引入了巴拿赫代数的正交单位分解性质，得到了有关自动连续性定理。

在线性算子自动连续性方面的研究也取得了较大进展。1980年，诺伊曼(M．Neumann)总结汇集了他与阿尔贝希特关于同态、导子、因果算子、局部算子方面的研究方法与结果，发表了《线性算子的自动连续性》的综述论文。1981年，阿尔贝希特再次应用他们建立的《滑动搬移原理》，讨论了空间L^P(Ω，u)上的局部线性算子的自动连续性。

同年，维利斯(G．AWillis)研究了群代数L¹(G)上导子的连续性。此年间，代勒斯还研究了巴拿赫^*－代数上正线性泛函的连续性。1986年，哥拉美拉(K．V．Graimella)研究了半素巴拿赫代数上导子的自动连续性问题，证明：素理想皆闭的半素交换巴拿赫代数上的导子必连续。他还发现：有单位的整域巴拿赫代数上的导子都连续等价于有单位的半素交换巴拿赫代数上的导子都连续。

1991年，入恩弟(V．Runde)证明：素理想皆闭的交换巴拿赫代数A上的导子与满同态均有幂零的分离空间。由此推出了哥拉美拉的结果。

1987年，约汉逊引入了广义同态的概念，推广了以前的ε－同态。经过研究分离空间的零化性，证明：(1)从巴拿赫代数到半单巴拿赫代数上的广义同态自动连续。

(2)从巴拿赫代数到半单交换巴拿赫代数中的广义同态自动连续。(3)C^*－代数间的保*广义同态自动连续。

回顾自动连续性理论产生与发展的历史，尽管有一系列的深刻结果相继获得，但由于问题的复杂性与一般化，使得该理论考虑的基本问题远未彻底解决。代勒斯在1978年提出的众多问题中，仍有一部分带有根本性的问题尚未得到实质性进展。目前仍然悬而未决的难题有：(1)从巴拿赫代数到半单巴拿赫代数中的稠值域同态连续吗?(2)从巴拿赫代数到半素巴拿赫代数上的满同态连续吗?(3)从那些C^*－代数到巴拿赫代数中的同态自动连续?(4)从什么样的巴拿赫代数到任－巴拿赫代数的满同态自动连续?(5)巴拿赫代数的同态都有广义幂零的分离空间吗?(6)从C^∞(〔0，1〕)到巴拿赫代数上的同态连续吗?要解决这些公开难题的关键在于以下几个方面：(1)对巴拿赫代数、半单或半素巴拿赫代数及C^*－代数结构的深刻研究。(2)对代数结构与拓扑结构的协调性探讨。(3)建立更为细致有力的研究方法与工具。(4)对同态、导子等线性映射的结构性研究。

今后的研究热点有：(1)建立更为有效精细的技巧性方法与工具。(2)深入揭示巴拿赫代数中的两种结构的内在联系。

(3)刻划同态、导子及某类线性算子的分离空间与连续性理想。(4)探求各难题的约化研究。(5)继续讨论某些问题的特殊情况。(6)自动连续性理论的应用研究。

。【参考文献】：

1 Sinclair A M. London Math Soc Lecture Note Series, 1976,21:1～91

2 DalesHG. Bull LindonMathSoc,1978,10:129～183

3 Neumann M. Functional Analysis: Surveys and Recent Results I ,North-Holland,1980,269～296

4 Bade J M, et al. Lecture Notes in Math, 1983,975

5 Dales H G. Functional Analysis: Surveys and Recent Results I ,North-Holland,1984,197～218

6 Laursen K B. Functional Analysis: Surveys and Recent Results I ,North-Hollanad. 1984,219～232

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8 Laursen KB. JLondonMathSoc,1987,36(2): 165～ 175

9 曹怀信．陕西师范大学学报，1988，16(2)∶1～5

10 曹怀信．陕西师范大学学报，1989，17(4)∶1～4

(陕西师范大学曹怀信副教授撰；路干亭审)