向量及其线性运算

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第112页（1304字）

向量定义 有大小，又有方向的量称为向量．记为a或

向量相等定义 若两个向量大小相等，方向相同，则称这两个向量相等，记为a=b．

向量的模及单位向量 向量的大小称为向量的模或长度记为|a|或．模为一个单位的向量称为单位向量．记为．长度为零的向量称为零向量记为0．零向量的方向不定(或任意)．

向量的加法 以a，b为平行四边形的邻边，则对角线(如图8．2(a))向量称为a与b之和，记为a+b．这种求和方法称为平行四边形法则．

向量a与b之和的三角形方法：a与b首尾相接(a的终点接b的起点)，则三角形另一边向量(见图8．2(b))c为a+b，即c=a+b．

图8．2

向量加法运算规律

交换律：a+b=b+a．

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)．

三角不等式：|a+b|≤|a|+|b．

数与向量的乘积定义 设λ为实数，a为非零向量．数λ与a乘积λa定义如下：

(1)λa是一个向量；

(2)|λa|=|λ| |a|；

(3)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ=0或a=0时，λa为零向量．

λa满足下列运算规则

结合律：λ(μa)=(λμ)a (λ，μ为实数)．

分配律：(λ+μ)a=λa+μa；λ(a+b)=λa+λb．

两向量a与b平行的充要条件是a=λb(λ为实数)．

a，b，c共面的充要条件是a=λb+μc(λ，μ为实数)．

向量的减法，负向量的定义 若一个向量c与向量b之和等于a，则称c为a与b之差，记作c=a－b(见图8．3)．从几何上看，a与b首首相接(a，b的起点在一起)，则由b的终点到a的终点向量为

图8．3

c=a－b．

与a方向相反，模相等的向量称为负a．记作－a，且有

－a=(－1)a．