空间曲面与曲线

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第126页（1613字）

球面方程

(1)球心为(x₀，y₀，z₀)，半径为R的球面方程为

(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²=R²．

(2)球心为原点，半径为R的球面方程为

x²+y²+z²=R²．

(3)球心在x轴上(R，0，0)，半径为R的球面方程(即与Oyz坐标面相切于原点)为

x²+y²+z²=2Rx．

(4)球心在y轴上(0，0，R)，半径为R的球面方程(即与Oxy坐标面相切于原点)为

x²+y²+z²=2Rz．

母线平行坐标轴的柱面方程

(1)柱面定义：在Oxy坐标面上的曲线L的方程为f(x，y)=0称为柱面的准线，过准线且平行z轴的所有直线所形成的曲面称为柱面．这些直线称为柱面的母线．柱面方程为

f(x，y)=0．

(2)设准线在yOz坐标面上的方程为f(y，z)=0，则母线平行x轴的柱面方程为

f(y，z)=0．

(3)设准线在Oxz坐标面上的方程为f(x，z)=0，则母线平行y轴的柱面方程为

f(x，z)=0．

椭球面方程(见图8．6)(a，b，c为正常数)．

图8．6 椭球面：

单叶双曲面方程(见图8．7)

图8．7 单叶双曲面

双叶双曲面方程(见图8．8)

图8．8 双叶双曲面

椭圆抛物面方程(见图8．9)

图8．9 椭圆抛物面

双曲抛物面方程(见图8．10)

图8．10 双曲抛物面

投影柱面定义 过空间曲线C上每一点作平行坐标轴的直线．这些直线所形成的面称为投影柱面．设空间曲线C的方程为

消去一个变量如消去z得方程

H(x，y)=0，

此方程即为投影柱面．

投影曲线定义 投影柱面(如H(x，y)=0)与坐标面(Oxy坐标面)的交线叫做曲线C在坐标面上(Oxy平面上)的投影曲线，简称为投影．