行列式的性质

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第261页（1071字）

性质1 行列互换，行列式的值不变，即

对行成立的性质，对列也成立．

性质2 若n阶行列式的某一行(或列)的n个数有公因数k，则k可以提到行列式之外，例如

推论1 若行列式中有一行元素全为零，则这个行列式的值为零．

推论2 数k乘行列式等于数k乘行列式某行(或列)的所有元素．

性质3 行列式中某一行(或列)的n个数都是两数之和，例如第i行的n个数分别是

a_il=b_il+c_i1，a_i2=b_i2+c_i2，…，a_in=b_in+c_in，

则行列式的值等于两个行列式的和，这两个行列式第i行分别是b_i1，b_i2，…，b_in和c_i1，ci_i2，…，c_in．而其余项与原行列式的相应行相同．即

推论 两个n阶行列式，其中有对应的n－1行的对应完全相同，只有一行元素不同，例如第i行，一个元素是b_i1，b_i2，…，b_in．一个元素为c_i1，c_i2，…，c_in，则两个行列式可以相加，其和行列式的第i行是b_i1+c_i1，b_i2+c_i2，…，b_in+c_in，其余n－1行与原两行列式中的任一个完全相同，即

性质4 行列式的任意两行(或列)互换，行列式变号．例如：第1行与第3行互换，则

推论1 如果行列式有两行(或列)对应相等，则行列式为零．

推论2 如果行列式中有一行(或列)是另一行的k倍，则行列式为零．

性质5 将行列式的某一行(或列)的k倍(即该行的每个数乘以k)加到另一行上，行列式的值不变，例如第i行的k倍加到第j列，有