连续型随机变量的概率分布
出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第384页（2070字）
概率密度函数 设随机变量X的分布函数为F(x)，且有非负值函数f(x)，如果
f(t)dt，则称f(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数．
概率密度函数的性质
(1)f(x)≥0．
(3)F(x)是连续函数．
(4)对任何点x，恒有P｛X=x｝=0．由此可想到，概率为0的事件，不一定是不可能事件．
(5)在f(x)的连续点，F(x)可导，且有F′(x)=f(x)．
对任何值a，b，都有
由此可看出，对连续型随机变量，个别点(甚至有限个点)的存在与否，不影响区间上的概率值．
几个重要的连续型随机变量的概率分布
1．均匀分布X～U(a，b)
性质 若
，则有
(几何概率)．
2．指数分布X～E(λ)
性质 若X～E(λ)，则对任何正数x，x0，必有P｛X＞x+x0|X＞x0｝=P｛X＞x｝．
3．正态分布X～N(μ，σ2)
(1)x=μ是f(x)图形的对称中心，μ的大小影响图形的位置；
(2)σ的大小影响图形的形象，σ大，图形“矮胖”，σ小，图形“瘦高”．
标准正态分布：X～N(0，1)，μ=0，σ=1．
重要性质：
(1)Φ(x)+Φ(－x)=1．
(2)Φ(x)－Φ(－x)=2Φ(x)－1．
(3)若X～N(μ，σ2)，则
．称X*为标准化随机变量．
由X得到X*这种做法叫正态分布的标准化步骤．解决正态分布的计算问题最重要的，首先要考虑的就是对X进行标准化．
它的等价形式为
P｛|X－μ|≤kσ｝=2Φ(k)－1．
此概率值与μ，σ的大小无关，只与k的数值有关．由此得出下面几个重要数字：
P｛|X－μ|≤σ｝=2Φ(1)－1≈2×0．8413－1=0．6826．
P｛|X－μ|≤2σ｝=2Φ(2)－1≈2×0．9772－1=0．9544．
P｛|X－μ|≤3σ｝=2Φ(3)－1≈2×0．9987－1=0．9974．
最后一个数值说明X落在区间［μ－3σ，μ+3σ］上的概率达到99．74%．它表明X落在上述区间之外的概率已不足0．3%．可以认为X几乎不在该区间之外取值．这个结果在专业上通常称为“3σ规则”．
4．Γ分布
设随机变量X，若X的概率密度函数为
则称X服从参数为λ，r的伽马分布，简称为Γ分布，记为X～G(λ，r)，其中Γ(r)为Γ函数，定义为
Γ函数有下面的性质：
Γ(r+1)=rΓ(r)，
并有
当r=1时，有
这时，X服从参数为λ的指数分布．说明指数分布是伽马分布的一个特例．X～E(λ)，即X～G(λ，1)．