债券价格的计算
出处：按学科分类—经济 中国商业出版社《金融企业会计制度实施手册上》第381页（7363字）
(一)债券价格
投资者根据期望的收益率确定债券的购买价格。为简单起见，先作如下假设：
(1)债券发行者在规定日期肯定偿还债务，暂不考虑债券发行者不能按期还债的可能。
(2)债券有固定的到期日，暂不考虑无固定到期日的债券。
(3)债券价格是指某票息支付日刚刚支付票息后的价格，暂不考虑相邻两个票息支付日之间某个日期的债券价格。
(4)暂不考虑纳税。
(5)涉及的利率均为复利。
再约定一些计算债券价格所用的符号：
P：债券的价格(price)。
F：债券的面值(par value或face account)，印在债券上，它的惟一目的是确定债务人的一系列的偿付额。
C：债券的赎回值(redemption value)，即在债券赎回日支付给债券持有人的货币额。由于债券一般在到期日以面值赎回，因而C往往等于F。以后除特别指出外均假设债券以面值赎回。
r：债券的票息率(coupon rate)，即用于每个票息支付周期(period简称期)计算票息额的比率。票息支付频率，如半年一次或者一年一次。
Fr：票息额，投资者按期收到的债券利息额。
g：债券的修正票息率(modified coupon rate)，是单位赎回值中的票息额，g=Fr／C。g与r的计息频率总是相同的。债券以面值赎回时，g=r。
i：债券的收益率(yield rate)，常称为到期收益(yield to maturity)，是投资者购入债券直至赎回或到期后实际挣得的利率，在“长期债券投资的核算”一节中称为实际利率。以后除非特别指出外，都认为i与r的计息频率相同，并假设i是常数。
n：从债券计算日至债券到期日或赎回日期间的票息支付周期数。
K：到期日或赎回日的赎回值以收益率计算的现值，K=Cvn以i计算。
G：债券的基本额(base amount)，G=Fr／i。
在发行债券的条款中，F、C、r、g、t都是已知的，债券到期前这些参量都不变，它们决定了债务人未来的付出额。而P和i在债券到期前都可以变化，它们成反比关系。债券收益率随金融市场上同类债券主导利率(prevailing rates of interest)上下波动。因而，波动的市场利率将导致债券价格的波动。
债券价格等于各期票息现值加债券赎回值的现值．
其中利息函数(如
和vn)按收益率i计算。该公式称为计算债券价格的基本公式(basic formula)。
进一步推导基本公式，由
，得
，故
该公式称为溢价／折价公式(premium／discount formula)，只需计算或查利率表求
一个值，比公式(3－2－8)方便。
因，Fr=Gi，故
该式称为基本额公式(base amount formula)
因Fr=Cg，
，故
该式称为Makeham公式(Makeham是19世纪英国着名的精算师)。
例．面值1000元的10年期债券，票息率为半年复利8．4%，赎回值为1050元。若按半年复利10%的收益率购买，求该债券的价格。分别用上述四个公式计算。
解：F=100
C=1050
r=8．4%／2=0．042
g=Fr／C=1000×0．042／1050=0．04
i=10%／2=0．05
n=10×2=20
K=Cvn=1000(1+0．05)－20=395．734
G=Fr／i=1000×0．042／0．05=840
(1)基本公式
查复利现值表
=42×12．4622+395．734≈919．15
(2)溢价／折价公式
(3)基本额公式
P=G+［C－G］vn
=840+(1050-840)(1+0.5)-20
=840+(1050-840)×0．37689
≈919.15
(4)Makeham公式
(二)溢价与折价
若债券的买价高于赎回值即P＞C，则称该债券为溢价发行，P与C的差额称为溢价(premium)。若买价低于赎回值即P＜C，则称该债券为折价发行，C与P的差额为折价(discount)。根据溢价／折价公式有
，当i＜g
，当i＞g
可见当i＜g时债券将会溢价发行，当i＞g时债券将会折价发行。溢价和折价两者名称不同，实质相同，只是折价为负的溢价
债券价格取决于各期票息的现值和赎回值的现值。由于债券买价经常低于或高于赎回值，因而在赎回日投资者就有盈余(等于折价)或亏损(等于溢价)。该盈余或亏损在计算到期收益时就反映在债券收益率中。在这种情况下，票息额就不能完全看成投资者的利息收益，而应将每期票息分成利息所得(interest eamed简称利得)和本金调整(principal adjustment简称本调)两个部分。
用这种方法将债券价值从购买日的买价连续地调整到赎回日的赎回值。这些调整后的债券价值称为债券的账面值(book value)。账面值提供的是一系列合理而平滑的债券价值，很多投资者如保险公司和养老基金都在财务报表中用来反映债券资产的价值。需要注意的是，债券购买后的账面值不同于在市场上重新购买该债券的购买价格。市场上的债券价格随主导利率(prevailing interest rates)的变化而变化。而账面值是按购买时确定的收益率计算出来的一个平滑的数列。
设从购买日起t期后债券的账面值为Bt，第t期票息中的利得为It，本调为Pt，每期等额票息为Fr。这样买价P等于B0，赎回值C等于Bn。现考察某债券，C为1，票息为g，买价为1+p(p可正可负)。
先看第一票息期，期初债券账面值为
到了期末，基于期初账面值的第一期利得为
票息减第一期利得等于第一期本调，
期末账面值等于期初账面值减本期的本调，
以后各期依此类推，列表显示如表3－2－3。
表3－2－3 票息率为g、收益率为i的1元n期债券的分期偿债表
这种将每期票息分为利得和本调并与付息后的账面值一起展示的表称为分期偿债表。从该表可总结出以下几点：①账面值与溢价／折价公式按原收益率计算的价格一致。②本调栏之和等于p。③利得栏之和等于票息栏之和减本调栏之和。④本调栏是一个公比为1+i的等比数列。知道收益率和任何一项本调额就可容易地求出其他任意一项本调额。
表3－2－3中C=1，若C≠1则表中各值都乘以C。分期偿债表在任何情况下都可用基本原理来建立。比如，溢价购买的债券，面值1000元，2年期，票息率为半年复利8%，收益率为半年复利6%，则债券买价
B0=P=1037．171
半年票息
第一期利得
第一期本调P1=Cg－I1=40－31．12=8．88
第一期末账面值B1=B0－P1=1037．17－8．88=1028．29
表3－2－4 面值1000元、2年期、息票率8%半年复利、收益率6%半年复利的债券的分期偿债表
再如，折价购买的面值1000元的2年期债券，票息率8%半年复利，收益率10%半年复利，则债券买价
B0=P=964．54(元)
半年票息Fr=Cg=40元，分期偿债表如表3－2－5所示。
表3－2－5 面值1000元、2年期、票息率8%半年复利、收益率10%半年复利的债券的分期偿债表
表3－2－5中折价摊销额实际都是负数，但常被写成正数以省略负号。
例．面值1000元的2年期债券、票息率8%半年复利、收益率6%半年复利，若投资者可通过利率为半年复利5%的偿债基金来偿还资本部分，求债券的价格。
解：因i＜g，故债券将为溢价发行，P＞C
半年票息为Cg，利得为iP，两者之差(Cg－iP)存入偿债基金，债券到期时，偿债基金累积额等于溢价，即
其中j为偿债基金利率
整理得
(三)票息支付周期内债券的价格
设相邻两票息支付日的债券价格或账面值为Bt和Bt+1，其间收益率i不变，则
Bt+1=Bt－Pt+1
=Bt－(Fr－It+1)
=Bt(1+i)－Fr (3－2－12)
如果在票息周期内买债券，就必须将当期票息分配给债券原持有人和现持有人。从上一票息支付日到购买日这段时间(fractional period)产生的票息是原持有人的应计票息(accrued coupon)，用Frk表示，0＜k＜1。显然，Fr0=0，Fr1=Fr，这里Fr1是票息支付前算出的值。
债券购买日的实际支付价款(忽略相关费用)称为债券的公平价(flat price)，用
表示。扣除应计票息后的买价称为债券的市价(market price)，用
表示，实际就是前面所说的账面值。显然，
在实践中，用市价加应计票息来标示债券价格。图3－2－3举例说明了公平价与市价的关系，该图所用账面值来自表3－2－5。应计票息等于实线表示的公平价与虚线表示的市价之差。
图3－2－3 公平价与市价比较
债券公平价、应计票息、市价的计算有三种方法。第一种叫理论法(theoretical method)，用复利来准确计算。显然，
故市价或面值 
第二种叫实践法(practica method)，对片段时间k用单利来近似计算。那么公平价
用线性插值法也可得此公平价。因该票息期期初公平价为Bt、期末支付票息前的公平价为
Bt+1+Fr，所以有
可以证明(3－2－17)式与(3－2－16)式等价。
实践法计算的应计票息为
Frk=kFr (3－2－18)
故
第三种叫半理论法(semi-theoretical method)，综合以上两种方法，用理论法计算公平价，
用实践法计算票息
Frk=kFr
故
半理论法有一个明显的偏差。对于i=g、P=C的债券，不存在溢价或折价摊销，在所有票息支付日的账面值都相等，因而所有的周期内账面值也等于票息支付日的账面值(即图3－2－3中的虚线平行于横轴)。理论法和实践法都符合此特性只有半理论法例外。但在实践中，半理论法用得最多。期限在6个月以上的债券都用半理论法计算。三种算法中，k的取值根据精确／精确法或30／360法计算而得。
图3－2－3是根据实践法算出的值画出的，公平价与市价在每个票息期都是线性的。票息支付期间购买的债券，属于溢价购买还是折价购买，判断的依据是市价或账面值而不是公平价。例如，面值1000元的债券，市价为980元，另有应计票息30元。虽以1010元的价格购买，但仍是折价购买，因为市价小于赎回值。所以有，
，当i＜g
，当i＞g
例：对表3－2－4所述债券，购买5个月后，分别用三种方法计算其公平价、应计票息和市价(账面值)。
解：k=5／6，B0=1037．17，i=6%÷2=3%，1+i=1．03，Fr=40
理论法：
实践法：
Fr5／6=kFr=5／6×40=33．33
半理论法：
Fr5／6=kFr=5／6×40=33．33=01063．04－33．33=1029．71