相似矩阵

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第327页（657字）

相似矩阵 设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得

P^－1AP=B，

则称A相似于B，记作A～B．

矩阵的相似关系也是一种等价关系，满足

(1)反身性：A～A．

(2)对称性：若A～B，则B～A．

(3)传递性：若A～B，B～C，则A～C．

相似矩阵的性质

(1)若A～B，则有|A|=|B|，r(A)=r(B)．

(2)若A～B，则A，B有相同的特征方程，有相同的特征值．反之不成立．

(3)若A～B，则A^m～B^m(m是正整数)．

(4)若A～B，则f(A)～f(B)(其中f(x)是多项式)．

(5)若P^－1A₁P=B₁，P^－1A₂P=B₂，则(P^－1A₁P)P^－1A₂P=P^－1A₁A₂P=B₁B₂．

(6)P^－₁(k₁A₁+k₂A₂)P=k₁P^－1A₁P+k₂P^－1A₂P．