多维随机变量的分布

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第401页（880字）

设随机试验E的样本空间Ω=｛e｝，X₁=X₁(e)，X₂=X₂(e)，…，X_n=X_n(e)为Ω上的n个随机变量，由它们构成的n维随机向量(X₁，X₂，…，X_n)为n维随机变量．

联合分布函数为

F(x₁，x₂，…，x_n)=P｛X₁≤x₁，X₂≤x₂，…，X_n≤x_n｝．

边缘分布函数为

F_Xi(x_i)=P｛X_i≤x_i｝=F(+∞，+∞，…，x_i，…，+∞，+∞)，

(i=1，2，…，n)．

多维随机变量的独立性 若对所有x₁，x₂，…，x_n都有

P｛X₁≤x₁，X₂≤x₂，…，X_n≤x_n｝=P｛X₁≤x₁｝…P｛X_n≤x_n｝．则称X₁，X₂，…，X_n是相互独立的．

X₁，X₂，…，X_n相互独立的判断条件

(1)X₁，X₂，…，X_n相互独立的充分必要条件是

F(x₁，x₂，…，x_n)=F_X1(x₁)F_X2(x₂)…F_Xn(x_n)．

(2)对离散型随机变量，X₁，X₂，…，X_n相互独立的充分必要条件是

P｛X₁=x₁，X₂=x₂，…，X_n=x_n｝=P｛X₁=x₁｝…P｛X_n=x_n｝．

(3)对连续型随机变量X1，X2，…，Xn，相互独立的充分必要条件是

f(x₁，x₂，…，x_n)=f_X1(x₁)f_X2(x₂)…f_Xn(x_n)．