陀螺定向的基本原理

出处：按学科分类—工业技术 中国建材工业出版社《工程测量实用技术手册》第472页（4161字）

现以图18－82(a)所示的杠杆陀螺仪来描述陀螺的进动特性。首先假设陀螺不旋转时，右端的重物与左端的陀螺平衡，杠杆是静止的，这时要把重物向右(向左)移动，左端就要升起(或下降)。其次在杠杆平衡时，使陀螺高速旋转起来，转动方向如图中所示，此时如将右端的重物向右移动，杠杆并不发生倾斜，而是整个系统绕支点顺时针[图18－82(b)]旋转起来；如将右端重物向左移动，整个系统就要逆时针旋转[图18－82(c)]。这种现象很容易用动量矩向外加力矩方向进动来解释。图中为转子角动矢量，为外力矩矢量，为进动角速度矢量。

图18－82 杠杆陀螺仪

图18－83是上挂式陀螺仪的工作过程。图中陀螺轴指向东西水平方向－陀螺旋转方向如图中箭头所示。现假设在右端加一向下的力F，那么外力控指向北，陀螺的动量矩向外加力矩方向进动，即陀螺轴向北方向转动，这与杠杆陀螺中看到的现象一致。

图18－83 上挂式陀螺仪

由于轴承间摩擦力矩所引起的主轴的进动是没有规律的，目前用于定向的陀螺仪是采用两个完全的自由度和一个不完全的自由度，也称为两个自由度的所谓钟摆式陀螺仪。

如果把自由陀螺仪的重心从中心下移(图18－84)，即在自由陀螺仪轴上加以悬重Q，则陀螺仪灵敏部的重心由中心O下移到O₁点，这样，便限制了自由陀螺仪绕y轴旋转的自由度，亦即x轴因悬重Q的作用，而永远趋于和水平面平行的状态。此时它具有两个完全的自由度和一个不完全的自由度。因为它的灵敏部和钟摆相似(重心位于过中心的铅垂线上，且低于中心)，所以称为钟摆式陀螺仪。如用悬挂带悬挂起来，陀螺既能绕自身轴高速旋转，又能绕悬挂轴摆动(进动)。

图18－84 钟摆式陀螺仪原理示意图

地球以角速度ω_E(ω_E=1周／昼夜=7．9211×10^－6rad／s)绕其自转轴旋转，所以地球上的一切物体都随着地球转动。从宇宙空间来看地轴的北端，地球是在做逆时针方向旋转(图18－85)，地球旋转角速度的矢量ω_E沿其自转轴指向北端。对纬度为φ的地面点P而言，地球自转角速度矢量ω_E和当地的水平面成φ角，且位于过当地的子午面内。ω_E可分解为垂直分量ω₂(沿铅垂方向)和水平分量ω₁(沿子午线方向)。

图18－85 地球自转矢量的分解

图18－86表示辅助天球在地平面以上的部分。O点为地球的中心，因为对天体而言地球可看作是一个点。故可设想，陀螺仪与观测者均位于此O点上，且陀螺仪主轴呈水平位置，在方位上处于真子午面之东，与真子午面夹角为α。图中NP_NZ_NS为观测者真子午面；NWSE为真地平面；OP_N为地球旋转轴；OZ_N为铅垂线；NS为子午线方向；φ为纬度。

图18－86 在辅助天球上分解地球自转矢量

这时角速度矢量ω_E应位于OP_N上，且向着北极P_N那一端。将ω_E分解成互相正交的两个分量ω₁和ω₂。ω₁叫作地球旋转的水平分量，表示地平面在空间绕子午线旋转的角速度，且地平面的东半面降落，西半面升起，在地球上的观测者感到就像太阳和其他星体的高度变化一样。地球水平分量的大小为：

ω₁=ω_Ecosφ

分量ω₂表示子午面在空间绕铅垂线亦即万向结构z轴旋转的角速度，并且表示子午线的北端向西移动。这个分量称为地球旋转的垂直分量。观测者在地球上感到的正如太阳和其他星体的方位变化一样。分量ω₂的大小为：

ω₂=ω_Esinφ

为了说明钟摆式陀螺仪受到地球旋转角速度的影响，我们把地球旋转分量ω₁再分解成为两个互相垂直的分量ω₃(沿y轴)和ω₄(沿x轴)，如图18－86所示。

分量ω₄表示地平面绕陀螺仪主轴旋转的角速度，其大小为：

ω₄=ω_Ecosφcosα

此分量对陀螺仪轴在空间的方位没有影响，所以不加考虑。

分量ω₃表示地平面绕y轴旋转的角速度，其大小为：

ω₃=ω_Ecosφsinα

分量ω₃对陀螺仪轴x的进动有影响，所以ω₃叫作地转有效分量。该分量使陀螺仪的主轴发生高度的变化，向东的一端仰起(因东半部地平面下降)，向西的一端倾降。

由此不难理解，当地球旋转时，钟摆式陀螺仪上的悬重Q将使主轴x产生回到子午面的进动，其关系表示于图18－87。其情况与图18－82的实验相类似。当陀螺仪主轴x平行地平面的时刻[图18－87(a)]，则悬重Q不产生重力力矩，所以对于x轴的方位没有影响。但在下一时刻，地平面依角速度ω₃绕y轴旋转，地平面不再平行于x轴，而与之呈某一夹角。设x轴的正端偏离子午面之东，那么当地平面降落后，观测者感到的是z轴的正端仰起至地平面之上，并与地平面呈夹角度θ[图18－87(b)]。因而悬重Q产生力矩使x轴的北端进动并回到子午面方向，反之亦然。因此，钟摆式陀螺仪在地转有效分量ω_S的影响下，其主轴x总是向子午面方向移动。若陀螺仪灵敏部重力为P，且认为是集中作用于重心O₁，重心O₁至悬挂点O的距离为l，则此时因地平面绕y轴旋转而引起的力矩为：

M_B=Plsinθ=Msinθ

图18－87 陀螺轴与重力矩的关系

(a)陀螺轴平行于地平面；(b)陀螺轴与地平面不平行

由此，可知这时x轴进动的角速度为：

由于与地球转动的同时，子午面亦在按地转铅垂分量ω₂不断地变换位置，所以即使某一时刻陀螺仪与地面平行且位于子午面内，因此陀螺仪与子午面之间有相对运动。当陀螺仪轴的进动角速度ω_P与角速度分量ω₂相等时，则陀螺仪轴与仪器所在地点的子午面保持相对静止，因而有：

因θ角较小，故可写成：

也就是说，陀螺仪轴正端自地平面倾起θ角时，陀螺仪x轴便与子午面保持相对静止，此时的θ角称为补偿角，并以θ₀表示。

陀螺仪轴对子午面所作的相对运动过程如图18－88所示。通过陀螺仪的中心O作水平面ESWN和子午面SZ_NP_NN，竖直投影面H垂直于子午面，纵轴M-M为子午面的投影，横轴为地平面的投影，陀螺仪轴正端偏离子午面的角度α用水平线段表示，x轴对地平面的倾角θ用垂直线段表示。

图18－88 陀螺仪轴对地球的相对运动

假设开始时陀螺仪轴正端向东偏离子午面α₁角位于Ⅰ点，并位于过O点的水平面内，但由于地球自转有效分量ω₃的作用，过O点水平面的东半部将要不断下降，西半部不断上升。根据陀螺定轴性的特点，陀螺仪x轴正端将相对于水平面抬高而出现仰角，这就产生作用于灵敏部上的重力矩，此重力矩又引起陀螺仪轴向西进动，力图使x轴回到子午面内。但此时重力矩很小，进动角速度ω_P小于地球自转角速度分量ω₂，即ω_P＜ω₂，因此x轴仍继续相对于子午面向东偏离。同时相对于水平面的倾角θ₀也继续增大，一直到x轴相对于水平面的倾角为0为止，即到达Ⅱ点时，进动角速度ω_P与ω₂大小相等(ω_P=ω₂)，方向相同，此时x轴不再向东运动。但是由于ω₃的作用，θ角将继续增大，以致进动角速度ω_P大于ω₂(ω_P＞ω₂)，此时x轴将向子午面运动，在x轴未回到子午面之前，θ角总是增加的，进动角速度ω_P也是越来越大。当x轴回到子午面内，即到达Ⅲ点时，θ角达到最大值，重力矩和进动角速度也达到最大值，x轴将继续超前子午面向西进动。但此时由于陀螺仪轴正端偏向子午面以西，由于ω₃的作用，西边地平面相对于陀螺仪轴正端抬高，即θ角逐渐减小。当到达Ⅳ点时，仰角又减到θ₀，这时x轴进动角速度ω_P的大小和方向均等于地转垂直分量ω₂(ω_P=ω₂)，x轴与子午面保持相对静止，x轴处于子午面以西，偏离子午面最远。再过片刻，因为x轴位于地平面的西半部，地平面以最大速度倾起，即x轴以最大速度倾降，x轴的倾角即开始小于补偿角θ₀。由悬重而引起的x轴进动的角度ω_P开始小于地转垂直分量ω₂(ω_P＜ω₂)，x轴的进动落后于子午面的转动，所以x轴向东旋转逐渐向子午面靠近。当到达V点时，x轴平行于地平面，θ等于零，没有引起进动。但由于地平面的西半部不断上升，θ角逐渐减小，此时x轴正端低于水平面，重力矩出现负值，x轴向东进动，从而加速了向子午面方向运动。由于负θ角的绝对值越来越大，x轴又回到子午面内，即到达Ⅵ点，此时x轴正端处于最低点。由于最大负重力矩的作用，x轴又以最大进动角速度向东偏离子午面。往后就是重复原来的过程。

钟摆式陀螺仪轴就是这样在子午面(M-M)附近作连续不断的、不衰减的椭圆简谐摆动。x轴在沿椭圆轨迹的运动中，稍停而又向相反的方向运动的时刻叫做陀螺仪轴的逆转时刻。点Ⅱ与Ⅳ称作陀螺仪轴的逆转点，取东西逆转点读数的平均值即可得出子午面的方向值。这就是陀螺仪定向的基本原理。x轴正端沿椭圆走完全行程又回到起点所需的时间叫做陀螺仪不衰减的周期T。