向量空间

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第308页（1561字）

向量空间 实数域上的全体n维向量，定义加法和数乘(普通加法和数乘)，且加法满足

(1)α+β=β+α(交换律)；

(2)(α+β)+r=α+(β+γ)(结合律)；

(3)存在零向量0，对任意向量α，有α+0=α；

(4)对任一向量α，存在负向量，记作－α，使得α+(－α)=0．数乘满足：

(5)1α=α；

(6)k(lα)=klα(结合律)；

(7)k(α+β)=kα+kβ(分配律)；

(8)(k+l)α=kα+lα(分配律)．则称为实数域上的n维向量空间．记作Rn．

向量空间的基 在Rⁿ中，若存在一组有序向量组ξ₁，ξ₂，…，ξ_n，满足(1)ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性无关；(2)对任意的α∈Rⁿ，均可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性表示，则称ξ₁，ξ₂，…，ξ_n是Rⁿ的一组基．称ε₁=(1，0，…，0)，ε₂=(0，1，0，…，0)，…，ε_n=(0，0，…，1)为Rⁿ的自然基．

向量空间的维数 向量空间中基向量的个数称为向量空间Rn的维数．

向量在某组基下的坐标 设α在基ξ₁，ξ₂，…，ξ_n下的表达式为

α=a₁ξ₁+a₂ξ₂+…+a_nξ_n，

则称(a₁，a₂，…，a_n)是α在基ξ₁，ξ₂，…，ξ_n下的坐标．

注 向量与向量在某组基下的坐标不是一回事，向量只有在自然基ε_i=(0，…，0，1，0，…0)(i=1，2，…，n)下与其坐标在数值上相等，但意义也是不同的．

子空间 设，对任意的α，β∈V，k是实数，满足

kα∈V，α+β∈V．

则称V是Rⁿ的子空间．

类似地，可定义子空间的基、维数、坐标的概念．

基变换公式 设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n是Rⁿ中的一组基，η₁，η₂，…，η_n是Rⁿ中的n个向量，且有关系

其中C的第i列是η_i在基ξ₁，ξ₂，…，ξ_n下的坐标列向量．

则η₁，η₂，…，ηn也是Rⁿ的一组基的充分必要条件是C可逆．当C可逆时，η₁，η₂，…，η_n也是Rⁿ的一组基，(*)式称为基变换公式，C称为由基ξ₁，ξ₂，…，ξ_n到基η₁，η₂，…，η_n的过渡矩阵．

坐标变换公式 设α∈Rⁿ，α在基ξ₁，ξ₂，…，ξ_n下的坐标为X=(x₁，x₂，…，x_n)^T．在基η₁，η₂，…，η_n下的坐标为Y=(y₁，y₂，…，y_n)^T，由ξ₁，ξ₂，…，ξ_n到η₁，η₂，…，η_n的过渡矩阵是C，即

α=(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)X=(η₁，η₂，…，η_n)Y=(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)CY，

得 X=CY 或 Y=C^－1X．

该式称为坐标变换公式．