平面方程的各种形式

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第120页（2608字）

平面方程的一般式

A_x+By+C_z+D=0，

其中A，B，C不同时为零，垂直平面的一个法向量n=｛A，B，C｝．

平面方程的点法式 设平面过一定点(x₀，y₀，z₀)，其法向量为n=｛A，B．C｝，则其平面方程为

A(x－x₀)+B(y－y₀)+C(z－z₀)=0．

称为平面的点法式方程．

截距式方程

该平面过三点(p，0，0)，(0，q，0)，(0，0，r)，且p·q·r≠0．p，q，r分别称为平面在x，y，z轴的截距．

平面方程为x，y，z之间的一次方程，反之也成立

平面过不在一条直线上的三个点的方程 设M₁(x₁，y₁，z₁)，M2(x₂，y₂，z₂)，

M₃(x₃，y₃，z₃)不在一条直线上，则过M₁，M₂，M₃的平面方程为

两平面间的夹角(指不超过π) 设平面A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0及A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0，则其夹角θ为

直线方程的各种形式

(1)直线的一般式方程

其中x，y，z的系数不成比例．

与L平行的直线的方向向量l为

(2)直线的对称式方程

设直线L过定点(x₀，y₀，z₀)，其方向向量l=｛m，n，p｝，则L的方程为

这一形式称为对称式方程．当分母为0时，应理解是分子为0．

(3)直线的参数式方程

设直线L过点(x₀，y₀，z₀)，其方向向量l=｛m，n，p｝，则L的方程为

此形式称为参数式方程．

两直线间的夹角(指不超π的) 设两直线的方向向量分别为l₁=｛m₁，n₁，p₁｝，l₂=｛m₂，n₂，p₂｝，则它们间的夹角θ为

直线与平面的夹角 设直线的方向向量为l=｛m，n，p｝，平面的法向量为n=｛A，B，C｝，则它们夹角的正弦(见图8．4)为

图8．4

点到平面的距离 设定点(x₀，y₀，z₀)，平面方程为Ar+By+Cz+D=0，则点到该平面的距离d为

平面束方程 设平面π₁：A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0，平面π₂：A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0，则过π₁与π₂的交线的所有的平面方程称为平面束方程，其方程为

λ(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+μ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0，

其中λ，μ为不同时为0的实数．

点到直线的距离 设定点为A(x₀，y₀，z₀)，直线方程为．

M=(x₁，y₁，z₁)在直线上，则(x₀，y₀，z₀)到该直线的距离d(见图8．5)为

图8．5

其中l=｛m，n，p｝．

两条直线间的垂直距离 设直线L₁的方向向量为l₁，直线L₂的方向向量为l₂，M1，M₂分别为L₁，L₂上一个定点．则L₁与L₂间的垂直距离d为

两直线的垂直方程 设直线L₁与L₂的方程分别为

则两直线的方程为

其中

两条直线共面的条件 设L₁的方程为

L₂的方程为

则L₁与L₂共面的条件是

四点共面的条件 设M₁(x₁，y₁，z₁)，M₂(x₂，y₂，z₂)，M₃(x₃，y₃，z₃)，M₄(x₄，y₄，z₄)，则M₁，M₂，M₃，M₄共面的条件是